回归分析是一种统计分析方法，被广泛应用于医学、经济学、管理学等领域。当数据分布于高维空间中时，受“维数灾难”的影响，评估回归模型拟合数据的优良程度是极具挑战的问题。数学与统计学院教授许凯与合作者利用累积协方差，提出了基于U-统计量和L2范数的超高维检验方法，为高维大数据情形下，检验回归方程的显著性提出创新理论。论文“Testing the Effects of High-Dimensional Covariates via Aggregating Cumulative Covariances”被世界统计学四大期刊《Journal of the American Statistical Association》在线发表。成就背后，是他对统计学的热爱与坚定，是在科研路上的潜心耕耘。

承恩师教诲，携热爱不负

“在攻读更深层次的数理统计学专业前，它早以基本学科的形式呈现在我们眼前很多年了。”数学有着严谨的逻辑、深邃的思维和无限的想象空间，吸引着一代又一代探索者，其中便包括许凯。

中学阶段时，一本名为《几何原本》的数学著作第一次激发了许凯对数学浓厚的兴趣，并使他乐在其中：“我常常用不同的方法去论证书上的命题，感觉很有意思，那本书第一次让我感到数学的神奇与奥妙。”大学期间，许凯进一步被统计学的独特魅力所吸引：“统计学不仅只是数据的收集和整理，还被广泛应用于金融、管理、生物医学等多个学科。”在那时便对理学充满热爱的许凯，本科期间读的却是工学专业。在大三下学期得知可以通过跨考更换专业后，他便为考取理学研究生全力以赴。

易辙的过程从来不轻松，专业的压力可以通过努力学习缓解，心理压力却只能通过坚定的信念克服。“第一个困难就来源于自己，别人都在准备本专业的东西，而我要跨考，不同频的感觉会让我怀疑自己这样做到底对不对。但千万不要在自我斗争的过程中自暴自弃。”许凯一边认真学好每一堂课，一边阅读大量的数学方面的书籍。仅用一年半的时间顺利获得工学学士学位，同时以总成绩第二的高分考取了安徽师范大学概率论与数理统计硕士专业，并在这里遇到了对他性格影响颇深的恩师何道江。“我本身性格比较急躁，何老师会对我说‘只要事情能做成，时间花多久都没事’，之后我就经常告诉自己心态要稳一点，不着急。”

怀着对统计学的热忱，硕士毕业后，许凯选择了继续深造，在准备攻读博士期间也不曾止步：“何老师督促我仔细研究了博导的学术著作、工具方法，这段时间的研读对于我后面的学习至关重要。”基于对博导朱利民文章方法的提前了解，许凯在第一学期就通过一篇和朱利民共同感兴趣的计量经济学文章，确定了短期的研究方向。“朱利民老师常说一句话，‘希望你们找到的研究方向既是你们喜欢的又是我喜欢的，能够一起从零开始把它做大’，我记得当时去找老师的时候，他对我发现这篇文章既惊讶又满意。”许凯笑道。

“我与老师们到现在还会经常聚会，有时候有自己想不通的问题，在和老师讨论后都会茅塞顿开。”高度同频的师生关系中，许凯的恩师对他的影响远不止科研领域的确定，潜移默化中，他形成了更科学的学习方法和专业的学科思维，为日后的科研成就奠定了坚实的基础。

入度量学域，创检验新法

步入理学殿堂以来，许凯一直致力于此类非线性相依关系度量和高维数据分析领域的研究工作。所谓度量，通俗来说是将成百上千的数据降维为数十个甚至一个的过程中所寻找的参数估计值，例如平均数、中位数等。当数据分布于高维空间中时，处理数据变得非常困难，即产生“维数灾难”问题，而度量与降维都是解决该问题的有效手段。度量与降维息息相关，许凯关注度量问题的契机也与擅长降维领域的博导朱利民密不可分：“老师的成名绝技可以说是充分降维，降维和度量之间就像只隔了一层窗户纸，我把它捅破之后就进入到了这个领域。”

非线性相依关系度量问题是许凯心怡的科研领域，将经典的问题放在新的框架下重新研究，则是许凯喜欢的科研方式。在高维大数据情形下，检验回归方程的显著性是一个经典且极具挑战性的问题，而许凯与合作者共著的“Testing the Effects of High-Dimensional Covariates via Aggregating Cumulative Covariances”，即“通过累计协方差聚合检验高维协变量的效应”，为解决该问题提出了新的检验方法。

以基因为引例，许凯说明此法可应用的方向：“人的体内有上万个基因，基因突变则会导致癌症，理论上来说是不是只要找出突变的基因去治疗，癌症便能治愈？”但基因众多且相似，很难找到突变的基因。由此，可引出数据降维的意义——如果能把上万的基因降维成十个，再从里面找就会轻松很多。然而新的问题又出现了：“丢掉的那些变量即基因中到底有没有对癌症有影响的？这就需要检验，如果没有影响，那降维出来的数据就是有用的，如果有影响的话还要把那些数据重新找出来，再次检验。”此检验方法不仅对基因检测有重要意义，还在经济学等领域具有应用价值。

以导师为指引，以热爱为驱动，许凯在非线性相依关系度量和高维数据分析领域行稳致远，于2022年获得国家自然科学基金面上项目立项，于2023年分别获得安徽省自然科学基金优青项目和安徽省青年拔尖人才青年学者项目等。

化繁杂为简，重学科思维

在许凯看来，学好一门学科最重要的是形成相关的学科思维，而数学的学科思维实质上是函数思维，“初中、高中、大学乃至我现在所学过的数学知识，比如解析几何、立体几何、复分析等，本质都是函数。”虽然为了研究函数，就要围绕函数本身拓展其定义、表达式等方面的知识框架，但许凯坚定道：“所有知识的本质都是简单的，只要将最核心的内容钻研透，就能通过变式解决一系列难题。”以此为基础，许凯的授课理念便是用最简单的工具解决最复杂的问题，注重培养学生的学科思维。“学科思维比刷题重要的多，有了它，学生会对这门学科感兴趣的。”

以检验学习成果的方式为例，相较于局限地刷题，许凯强调用更简单的方式——以符号逻辑表示概念：“如果你能用符号逻辑表示出来，那你做题目肯定没问题。”许凯分享道：“纯粹的刷题可能会让学生感到枯燥疲劳，进而对课程产生厌恶情绪。但是当学生把握住知识的本质，并能将它应用于实践当中，会让学生对知识的理解越来越深。”因此，他鼓励学生全程参与自己的科研项目，通过这种方式不仅能锻炼学科思维，还能使学生紧跟学科发展前沿：“不论有多少新的科研成果涌现，课本中经典的方法和框架都会一直适用。学生能通过科研将经典的知识运用到当下的新问题中，对他们理解和使用这门学科非常有帮助。”

于许凯而言，在将学科思维落地的过程中，学生还需要“现学现卖”的能力培养。“曾经我的老师对我提出一个问题的时候，会告诉我关于问题的理论工具在某本书的第几章第几节，先让我自己学习领悟，而不是手把手的教授。”一开始，许凯很难适应此种教育方式。但不久后他便发现，自学理论工具并将其应用于解决问题的过程中，自身的钻研能力不断提升，快速学习的能力正是如此形成的。受益于硕导何道江和博导朱利民的教育理念，许凯也将此教育模式反馈于自己的课堂。“大学之后就没有老师会手把手教你学习了，此时自学的本领就至关重要。”许凯介绍道。

基于科学的教学理念，许凯言传身教、潜心育人，使学生受益终身。“记得有一次做课题时，我以为自己找到了一个创新点，但研究不久就遇到了难题。询问老师后，我才得知是因为自身推理不严谨，走错了方向。”2022级统计学专业研究生张家龙分享道：“当时老师的一句话令我印象非常深刻，他说‘科研是严谨的，我们写的每个符号都要有理有据’，这种治学态度对我影响很大。”

在课堂上，许凯将理论与实际结合，授课通俗易懂；在生活中，许凯常与学生谈心，亦师亦友；在就业方面，许凯也密切关注相关信息并择优给学生推送。在学生眼中，许凯是一位“科研路上的好老师，生活中的好朋友”。葆有着对数学的热爱与教学的用心，许凯五年的教学生涯中，所授学生多次获得省级、校级优秀毕业生，优秀毕业论文等称号。

“学习是枯燥乏味的，即使某个夜晚你想要放弃，也要在短暂休息后及时调整回来，抓住人生的主要矛盾，往前看，向上走。”正如许凯于师大学子的寄语，他将葆有矢志不渝的热爱坚守、深耕不怠的钻研精神、追寻前沿的学科意识，为师大的学科发展贡献力量，为构筑数学的神秘殿堂添砖加瓦。（采访/阿秀奕、徐欣怡）